|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Rekenen met wortels
Uit een boek missen we een aantal opeenvolgende bladzijden. De som van de nummers ervan is 9808. Welke bladzijden ontbreken er?
Antwoord
Stel dat er n bladzijden ontbreken, meer bepaald de bladzijden met nummers a tot en met a+n-1. Hun som is een rekenkundige reeks met reekssom S = an + n(n-1)/2.
Manier 1
S = 9808 is een kwadratische vergelijking in n. De discriminant, 4a2-4a+78465, moet een volkomen kwadraat zijn, wil de oplossing voor n een natuurlijk getal kunnen zijn. Dat is geen garantie, maar zonder een discriminant die een volkomen kwadraat is, kan het al zeker niet.
4a2-4a+78465 = D2
(2a-1)2+78464 = D2
78464 = D2-(2a-1)2
78464 = (D+2a-1)(D-2a+1)
We moeten nu 78464=(27)(613) splitsen in 2 factoren. Aangezien het aantal delers van dit getal gelijk is aan 16, kan dit op 16 verschillende manieren. Dat aantal kan je al meteen herleiden tot 8 aangezien de linkse factor duidelijk groter moet zijn dan de rechtse factor.
Twee van die ontbindingen leveren natuurlijke waarden voor a en D op, namelijk
i) 78464 = (1226)(64) zodat a=291 en D=645
ii) 78464 = (39232)(2) zodat a=9808 en D=19617
Geval i) leidt via de genoemde kwadratische vergelijking tot n=32 en n=-613. De verdwenen bladzijden zijn dan de nummers 291 tot en met 291+32-1=322, aangezien negatieve waarden voor n onzinnig zijn.
Geval ii) leidt via dezelfde vergelijking tot n=1 en n=-19616, wat overeenkomt met 1 verdwenen bladzijde met nummer 9808, de triviale oplossing dus.
Manier 2
S = 9808 is ook een lineaire vergelijking in a. Je bekomt dat
a = (-n+1)/2 + 9808/n
We onderscheiden nu twee gevallen
i) n is oneven. De eerste term is dus een geheel getal zodat de tweede term dat ook moet zijn. n moet dus deler zijn van 9808=(2^4)(613). Van de tien mogelijke delers geeft enkel n=1 aanleiding tot een natuurlijk getal voor a.
ii) n is even. De eerste term is dus (een geheel getal) + (1/2) zodat de tweede term dat ook moet zijn en dus de vorm heeft (een oneven getal)/2. Dat kan alleen als n=2^5=32, zodat de extra 2 in de noemer komt te staan.
PS: Eigenlijk zou n meteen even moeten worden verondersteld, als je er mag vanuit gaan dat de meeste bladen langs 2 zijden zijn bedrukt. Daarmee vervalt dan ook de triviale oplossing. Om dezelfde reden zou a oneven moeten zijn.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
